11. 座標空間とカメラ

此処数章で、かなり実用的な道具箱が揃いました。
物を拡大縮小・回転・移動させる行列（第8章と第9章）、そして其れを元に戻す逆行列（第10章）です。
此の章では、其の道具箱を3Dプログラムで最も重要な物、つまりカメラに使います。
1つの頂点がモデルファイルからピクセルになる迄の旅を追い掛け、「座標空間を変える」とは本当は何なのかを学び、有名なlookAtビュー行列を一から作ります。
最後には、一人称カメラとオービットカメラを自分で書ける様になります。

11.1 頂点の旅

友達に自分のマグカップの場所を教える場面を想像して下さい。
「キーボードの10cm左」とも言えますし、「3階の302号室」とも言えますし、GPS座標を伝える事も出来ます。
どれも同じマグカップです。
変わったのは基準座標系だけです。
つまり、原点を何処に置くかと、どの方向を軸と呼ぶかです。

3Dプログラムは、全ての頂点に対して毎フレーム何度も此れと同じ事をしています。
其々の基準座標系を空間と呼び、行列が点を或る空間から次の空間へ運びます：

最初の3つの矢印は、頂点シェーダーで自分で書きます。
最後の2つはGPUがやってくれます。
モデル行列は既に知っていますね。
第9章の$𝐓𝐑𝐒$行列です。
投影行列は次の章で丸ごと扱います。
此の章のテーマはビュー行列と、上の図の全ての矢印の裏に隠れている1つの考え方、基底変換です。

11.2 基底変換：公式

まずは図です。
下のグリッドには普通のx軸とy軸がありますが、別の人は傾いた軸${𝐛}_1$と${𝐛}_2$を使っているとします。
2人とも同じ点Pを表せますが、書き出す数字が違うだけです。

新しい基底ベクトルを古い座標で書き、其れを列として行列に並べます：

新しい軸に沿って測った座標が${𝐩}_{\text{new}}$である点の、古い座標は次の通りです：

逆方向に行くには、逆行列（第10章）で$𝐁$を元に戻します：

更に、新しい軸が正規直交（どの軸も長さが1で、互いに全て垂直）なら、逆行列は単なる転置になります：

新しい座標系が自分の原点$𝐨$（古い座標で表した物）も持っている場合は、第9章の4×4の技を使い、$𝐨$を4列目に入れます：

11.3 基底変換の仕組み

${𝐩}_{\text{new}}=(2,1)$とは何を意味するのでしょうか。
「${𝐛}_1$に沿って2歩、其の後${𝐛}_2$に沿って1歩進む」という意味です。
古い座標では、其の歩みは$2{𝐛}_1+1{𝐛}_2$です。
第6章を思い出して下さい。
行列とベクトルの積は、正に行列の列の線型結合でした。
従って$2{𝐛}_1+1{𝐛}_2=𝐁{𝐩}_{\text{new}}$となり、此れが公式の全てです。

逆方向は「此の点は${𝐛}_1$に沿って何歩の所にある？」という質問です。
正規直交基底なら、第4章が既に答えてくれています。
単位ベクトルとの内積は、ベクトルが其の方向にどれだけ伸びているかを測ります。
従って新しい座標は単に${𝐛}_1\cdot 𝐩$と${𝐛}_2\cdot 𝐩$です。
複数の内積を一度に計算するのは、${𝐛}_1$と${𝐛}_2$を行に持つ行列で、其の行列こそが${𝐁}^{\mathrm{\top }}$です。
此れが、正規直交行列を転置で元に戻せる理由です。
第10章で回転に使ったのと同じ事実ですね。

2Dの計算例

新しい軸を次の様にします：

まず正規直交である事を確認しましょう：

良いですね。
どちらも長さ1で、互いに垂直です。
（普通のx軸とy軸を約53°回転させただけの物です。）
では、新しい座標が${𝐩}_{\text{new}}=(2,1)$の点を考えます。
新から旧へ：

そして転置（行が${𝐛}_1$と${𝐛}_2$）で旧から新へ戻します：

$(2,1)$に戻りました。
往復は成功です。
もし新しい軸が正規直交でなければ（例えば片方の長さが2なら）、転置では間違った答えになり、第10章の本物の逆行列が必要になります。

此の節で覚えて欲しい一文は此れです：

座標系Aの軸（と原点）を座標系Bの座標で書き、其れを列に並べた行列は、点をAからBへ変換し、其の逆行列はBからAへ戻します。

モデル行列は正に此れです。
其の列はワールド座標で書いた物体の軸と位置なので、オブジェクト空間からワールド空間へ変換します。

11.4 物体としてのカメラ

カメラはワールドの中にある物体の1つに過ぎません。
位置、つまり目の位置（eye）$𝐞$と、3つの単位ベクトルで表す向きを持っています：

• $𝐫$：右（right）
• $𝐮$：上（up）
• $𝐟$：前（forward）、カメラが見ている方向

此の3つは正規直交基底です。
此処で、シリーズ全体の約束を思い出して下さい。
ビュー空間では、カメラは−Z方向を向きます。
+Xが右、+Yが上の右手座標系では、+Zは画面からこちら側、つまりあなたの方を向きます。
従って「画面の奥」は−Zで、カメラ自身の+Z軸は後ろ、つまり$-𝐟$の方向を向きます。
手系も確認出来ます。
$𝐫\times 𝐮$は$𝐢\times 𝐣=𝐤$と同じで後ろを向くので、$𝐫\times 𝐮=-𝐟$です。

前の節のルールを使うと、カメラ座標をワールド座標に変換する行列は、カメラの軸と位置を列に持ちます：

此れがカメラのワールド行列で、他の物体のモデル行列と全く同じ物です。
回転$𝐑$（最初の3列）の後に目の位置への平行移動が続くので、$𝐂=𝐓(𝐞)𝐑$です。

11.5 ビュー行列とlookAt：公式

でも欲しいのはカメラからワールドへの変換ではありません。
手元にあるのはワールド空間の頂点で、知りたいのは其れがカメラから見て何処にあるか、つまりワールドからカメラへの変換です。
其れは逆行列です：

此れがビュー行列です。
面白い考え方があります。
GPUはカメラを動かしません。
代わりにビュー行列がワールド全体を動かし、カメラが原点に来て−Zを向く様にします。
カメラを1m右に動かす事は、ワールド全体を1m左にずらす事と同じなのです。

此処では一般的な4×4の逆行列は要りません。
第10章で安い方法を学んだからです。
「靴下と靴」の$(𝐀𝐁{)}^{-1}={𝐁}^{-1}{𝐀}^{-1}$、回転の逆行列は転置、平行移動の逆行列は逆向きの平行移動です：

${𝐑}^{\mathrm{\top }}$の行は$𝐫$、$𝐮$、$-𝐟$です。
$𝐓(-𝐞)$を掛けると、まず目の位置を引き、其の結果と各行の内積を取るので、平行移動の列は${𝐑}^{\mathrm{\top }}(-𝐞)$になります：

行毎に読むと意味が分かります。
点の新しいxは「目からどれだけ右にあるか」、新しいyは「どれだけ上にあるか」、新しいzは「どれだけ後ろにあるか」（負なら前）です。

勿論、$𝐫$、$𝐮$、$𝐟$を手で打ち込みたい人は居ません。
lookAt関数は、3つの簡単な情報から其れらを作ります。
カメラが何処にあるか（$𝐞$）、何を見ているか（ターゲット$𝐭$）、そして大体どちらが上か（$𝐮𝐩$、普通はワールドの$(0,1,0)$）です：

11.6 lookAtの仕組みを一歩ずつ

3行を1つずつ説明します。

1. 前は目からターゲットへの矢印（第2章：ターゲット引く目）を、長さ1に正規化した物です（第3章）。
2. 右は前とも上とも垂直でなければならず、外積（第5章）は正に両方に垂直なベクトルをくれます。前と上のヒントは普通垂直ではない（斜め下を見ているカメラ等）ので、外積の長さは1より小さい$\sin \theta$になり、其の為に正規化します。
3. 本当の上は右とも前とも垂直です。$𝐫$と$𝐟$は90°を成す単位ベクトルで$1\cdot 1\cdot \sin 90\mathrm{°}=1$なので、最初から長さ1です。此れはワールドの上ではなく、カメラと一緒に傾いたカメラ本来の上です。

一番単純なカメラ、つまり−Zを向いて上が+Yのカメラで方向を確認しましょう。
すると$𝐫=(-𝐤)\times 𝐣=-(𝐤\times 𝐣)=-(-𝐢)=𝐢$で、+X、つまり右です。
そして$𝐮=𝐢\times (-𝐤)=-(𝐢\times 𝐤)=-(-𝐣)=𝐣$で、上です。
外積の中の順番は大事です（第5章：入れ替えると符号が反転します）。
此の順番が、あたし達の右手座標系に合う物です。

計算例

カメラは$𝐞=(3,0,4)$にあり、原点$𝐭=(0,0,0)$を見ていて、上のヒントは$(0,1,0)$です。

ステップ1、前。

ステップ2、右。 外積の公式$(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x)$に$𝐛=(0,1,0)$を入れます：

長さは既に$\sqrt{0.64+0.36}=1$です（此のカメラは完全に水平を見ているからです）。
従って$𝐫=(0.8,0,-0.6)$です。

ステップ3、本当の上。

ステップ4、平行移動の列。

ステップ5、組み立てる。 行は$𝐫$、$𝐮$、$-𝐟$です：

ステップ6、確認する。
ターゲット（原点）は距離5の真正面にある筈です。
$(0,0,0,1)$を掛けると最後の列が其の儘出て来るので、$(0,0,-5)$です。
真正面に5、ぴったりです。
目の位置自体は$x=0.8\cdot 3-0.6\cdot 4=0$、$y=0$、$z=0.6\cdot 3+0.8\cdot 4-5=0$となり、カメラはビュー空間の原点にあります。
では点$𝐩=(4,2,-3)$はどうでしょう：

従ってビュー空間で$𝐩$は$(5,2,-5)$にあります。
右に5、上に2、前に5です。
此の点を覚えておいて下さい。
第12章で、此の点がどのピクセルに映るかを求めます。

lookAtが壊れる時

カメラが真上又は真下を向くと、前が上のヒントと平行になります。
すると$𝐟\times 𝐮𝐩$はゼロベクトルになります（第5章：平行なベクトルの外積はゼロ）。
第3章のnormalizeはゼロ除算の代わりにゼロベクトルを返すので、$𝐫$も$𝐮$もゼロになり、行列は全てを平らに潰し（行列式が0、第10章）、画面は真っ暗になるか、ちらつきます。
対策は簡単です。
カメラを上のヒントと完全に同じ方向に向けない（下のピッチ制限を参照）か、其の場合だけ別の上のヒント、例えば真上から見下ろすマップカメラなら$(0,0,-1)$を渡します。

11.7 一人称カメラとオービットカメラ

ヨーとピッチから作る一人称カメラ

一人称のゲームでは、ターゲットの点は保存しません。
代わりにマウスで変わる2つの角度を保存します：

• ヨー$\theta$：左右を向く事、ワールドの上軸Y周りの回転
• ピッチ$\varphi$：上下を見る事、カメラの右軸周りの回転

前方向$(0,0,-1)$から始めて、X周りにピッチ、次にY周りにヨーを掛けます。
第8章のrotateXとrotateYを使うと$𝐟={𝐑}_y(\theta ){𝐑}_x(\varphi )(0,0,-1)$です。
ピッチの段階で$(0,\sin \varphi ,-\cos \varphi )$になり、ヨーの段階で其れをY周りに回します。
掛け算を展開すると：

第1章の${\sin }^2+{\cos }^2=1$を2回使うと、常に長さ1である事が分かります：

計算例：ヨー60°、ピッチ30°。
必要なのは$\sin 60\mathrm{°}\approx 0.866$、$\cos 60\mathrm{°}=0.5$、$\sin 30\mathrm{°}=0.5$、$\cos 30\mathrm{°}\approx 0.866$です。

確認：$0.5625+0.25+0.1875=1$です。
カメラは−Zより左側（右手の法則により、正のヨーは上から見て反時計回りだから）、そして30°上を向いています。
つまり、マウスを右に動かした時はヨーを減らす必要があります。

ピッチの制限。 ピッチが±90°になると、前は$(0,\pm 1,0)$になり、ワールドの上と平行になります。
正に前の節の壊れるケースです。
90°を超えると視界が上下逆さまになります。
其の為、一人称カメラは必ずピッチを90°より少し小さい値に制限します。
小さなカメラ更新関数は次の通りです（forwardFromYawPitchは上の公式をコードにした物で、11.10節にあります）：

struct FpsCamera {
  Vec3 eye{0, 2, 0};
  float yaw = 0.0f, pitch = 0.0f;
};

// mouseDx, mouseDy: how far the mouse moved this frame, in pixels
inline Mat4 updateFpsCamera(FpsCamera &cam, float mouseDx, float mouseDy, float sensitivity) {
  cam.yaw -= mouseDx * sensitivity;   // mouse right -> turn right
  cam.pitch -= mouseDy * sensitivity; // screen y grows downwards
  const float limit = radians(89.0f);
  if (cam.pitch > limit) cam.pitch = limit;
  if (cam.pitch < -limit) cam.pitch = -limit;

  Vec3 forward = forwardFromYawPitch(cam.yaw, cam.pitch);
  return lookAt(cam.eye, cam.eye + forward, {0, 1, 0});
}

歩く時のちょっとしたコツです。
ピッチを含まない前方向、forwardFromYawPitch(yaw, 0.0f)に沿って移動して下さい。
そうしないと床を見ると歩くのが遅くなります。
第3章の斜め移動のバグと同じ種類のバグです。
横移動の方向はnormalize(cross(forward, up))です。

オービットカメラ

モデルビューアーやストラテジーゲームでは、ターゲットの周りを回るカメラが良く使われます。
同じ2つの角度に距離$d$を加え、目の位置をターゲットの後ろ、前方向と逆側に置きます：

其の後lookAt(eye, target, up)でビュー行列を作ります。
マウスのドラッグでヨーとピッチを、ホイールで$d$を変えます。
負のピッチは下を見るので、目の位置はターゲットより上になります。
例えばターゲット$(0,1,0)$、$d=4$、ヨー0、ピッチ−30°なら、$𝐟=(0,-0.5,-0.866)$で$𝐞=(0,1,0)-4(0,-0.5,-0.866)=(0,3,3.464)$となり、ターゲットの上かつ後ろです。

11.8 グラフィックスプログラミングでの使い方：P V M

全ての頂点が連鎖全体を通ります。
何時も通り右から左へ読みます（第7章）：

3つの行列は変わる頻度が違います：

• $𝐌$は物体毎に違います。
• $𝐕$はカメラが動く度、つまり1フレームに1回変わります。
• $𝐏$はウィンドウのサイズか視野角が変わった時だけ変わります。

行列の積は結合法則を満たす（第7章）ので、一部をCPUで掛けておき、送る行列を減らせます。
良くある構成は、$𝐏𝐕$を1フレームに1回、$𝐌$を物体毎に送る物です。
シェーダーはライティングの為にワールド座標が必要な事が殆どだからです。
3つ全部を使う素直な版は次の通りです：

struct Matrices {
  float4x4 model;
  float4x4 view;
  float4x4 proj;
};
ConstantBuffer<Matrices> matrices;

struct VertexOut {
  float4 position : SV_Position;
  float3 worldPos : TEXCOORD0;
};

[shader("vertex")]
VertexOut vertexMain(float3 position : POSITION) {
  VertexOut o;
  float4 world = mul(matrices.model, float4(position, 1.0));
  float4 viewPos = mul(matrices.view, world);
  o.position = mul(matrices.proj, viewPos);
  o.worldPos = world.xyz;
  return o;
}

#version 450
layout(set = 0, binding = 0) uniform Matrices {
  mat4 model;
  mat4 view;
  mat4 proj;
};

layout(location = 0) in vec3 inPosition;
layout(location = 0) out vec3 outWorldPos;

void main() {
  vec4 world = model * vec4(inPosition, 1.0);
  vec4 viewPos = view * world;
  gl_Position = proj * viewPos;
  outWorldPos = world.xyz;
}

struct Matrices {
  float4x4 model;
  float4x4 view;
  float4x4 proj;
};
ConstantBuffer<Matrices> matrices;

struct VertexOut {
  float4 position : SV_Position;
  float3 worldPos : TEXCOORD0;
};

VertexOut vertexMain(float3 position : POSITION) {
  VertexOut o;
  float4 world = mul(matrices.model, float4(position, 1.0));
  float4 viewPos = mul(matrices.view, world);
  o.position = mul(matrices.proj, viewPos);
  o.worldPos = world.xyz;
  return o;
}

今作った物の日常的な使い道を他にも挙げます：

• ライティング用のカメラ位置。 スペキュラーハイライトにはワールド空間の目の位置が必要です。其れは${𝐕}^{-1}$、つまりカメラのワールド行列$𝐂$の4列目です。CPUで計算してuniformとして送ります。
• ビルボード。 パーティクルや名札は常にカメラの方を向くべきです。ビュー行列の最初の2行はワールド空間でのカメラの右と上なので、其れらから四角形の角を作れます。
• スカイボックス。 空は歩いても近付いてはいけません。ビュー行列をコピーして4列目を$(0,0,0,1)$に置き換えれば、回転だけが残ります：sky.c[3] = {0, 0, 0, 1};
• フォグとソート。 ビュー空間では$-z$がカメラの前方の距離です。フォグや、半透明の物体を奥から手前へ並べ替える時に便利です。

ビルボードの関数は次の通りです。
第6章のインデックスの違いに注意して下さい。
SlangとHLSLでは行をview[0]で読みますが、GLSLは列が先なので、同じ行がview[0][0]、view[1][0]、view[2][0]に散らばっています。

float3 billboardCorner(float4x4 view, float3 center, float2 corner, float size) {
  float3 right = float3(view[0][0], view[0][1], view[0][2]);
  float3 up = float3(view[1][0], view[1][1], view[1][2]);
  return center + (corner.x * right + corner.y * up) * size;
}

vec3 billboardCorner(mat4 view, vec3 center, vec2 corner, float size) {
  vec3 right = vec3(view[0][0], view[1][0], view[2][0]);
  vec3 up = vec3(view[0][1], view[1][1], view[2][1]);
  return center + (corner.x * right + corner.y * up) * size;
}

float3 billboardCorner(float4x4 view, float3 center, float2 corner, float size) {
  float3 right = float3(view[0][0], view[0][1], view[0][2]);
  float3 up = float3(view[1][0], view[1][1], view[1][2]);
  return center + (corner.x * right + corner.y * up) * size;
}

11.9 其の他の使い道

基準座標系の変換は、気を付けて見ると何処にでもあります：

• ロボット工学。 ロボットの関節、グリッパー、カメラは其々自分の座標系を持っています。「グリッパーから見てカップは何処？」は基底変換です。ROSはtfライブラリで此れらの座標系の木構造を丸ごと管理しています。
• AR及びVR。 ヘッドセットは頭の位置と向きを追跡し、毎フレーム其処からビュー行列を作ります。左右の目に1つずつ、目の間隔の半分ずらして作ります。
• GPSとドローン。 GPSは地球中心の座標系で位置を返します。ドローンや自動運転車は其れを基準点周りのローカルな東・北・上（ENU）座標系に変換します。回転と平行移動です。
• 天文学。 星の位置は赤道座標、黄道座標、銀河座標で表され、決まった回転行列で互いに変換されます。
• 航空機。 パイロットや飛行ソフトウェアは機体に固定された機体座標系（前、右翼、下）を使います。其の向きはヨー・ピッチ・ロールで表され、其れが第13章に繋がります。

11.10 コード

linalg.hhにあるlookAtは次の通りです。
此れを11.5節と1行ずつ比べてみて下さい。
行は$𝐫$、$𝐮$、$-𝐟$で、平行移動の列は$-𝐫\cdot 𝐞$、$-𝐮\cdot 𝐞$、$𝐟\cdot 𝐞$です。

// ビュー行列：カメラがeyeからtargetを見る。カメラは自分の-Z方向を向く。
// View matrix: camera at eye looking at target. The camera looks down its own -Z axis.
inline Mat4 lookAt(Vec3 eye, Vec3 target, Vec3 up) {
  Vec3 f = normalize(target - eye); // 前 / forward
  Vec3 r = normalize(cross(f, up)); // 右 / right
  Vec3 u = cross(r, f);             // 上 / up

  Mat4 m = Mat4::identity();
  m.at(0, 0) = r.x;  m.at(0, 1) = r.y;  m.at(0, 2) = r.z;  m.at(0, 3) = -dot(r, eye);
  m.at(1, 0) = u.x;  m.at(1, 1) = u.y;  m.at(1, 2) = u.z;  m.at(1, 3) = -dot(u, eye);
  m.at(2, 0) = -f.x; m.at(2, 1) = -f.y; m.at(2, 2) = -f.z; m.at(2, 3) = dot(f, eye);
  return m;
}

そして11.7節のforwardFromYawPitchヘルパーを使ったテストプログラムです。
ビュー行列の逆行列（第10章）が本当にカメラのワールド行列なのかも、4列目から目の位置を読んで確認しています。

#include <cstdio>
#include "linalg.hh"

// yaw: turn around +Y, pitch: look up (+) or down (-). yaw = pitch = 0 looks down -Z.
inline Vec3 forwardFromYawPitch(float yaw, float pitch) {
  float cp = std::cos(pitch);
  return {-std::sin(yaw) * cp, std::sin(pitch), -std::cos(yaw) * cp};
}

static void printVec(const char *name, Vec4 v) {
  printf("%-8s (%6.3f, %6.3f, %6.3f, %6.3f)\n", name, v.x, v.y, v.z, v.w);
}

static void printMat(const Mat4 &m) {
  for (int row = 0; row < 4; ++row)
    printf("  [%6.3f %6.3f %6.3f %6.3f]\n", m.at(row, 0), m.at(row, 1), m.at(row, 2), m.at(row, 3));
}

int main() {
  // a camera at (3, 0, 4) looking at the origin
  Mat4 view = lookAt({3, 0, 4}, {0, 0, 0}, {0, 1, 0});
  printf("view matrix:\n");
  printMat(view);

  printVec("origin", view * Vec4{0, 0, 0, 1});
  printVec("eye", view * Vec4{3, 0, 4, 1});
  printVec("p", view * Vec4{4, 2, -3, 1});

  // the camera's world matrix is the inverse of the view matrix
  Mat4 camWorld = inverse(view);
  printVec("camPos", camWorld.c[3]);

  // first-person camera: yaw 60 degrees, pitch 30 degrees
  Vec3 f = forwardFromYawPitch(radians(60.0f), radians(30.0f));
  printf("forward  (%6.3f, %6.3f, %6.3f) length %.3f\n", f.x, f.y, f.z, length(f));

  Vec3 eye{0, 2, 0};
  Mat4 fps = lookAt(eye, eye + f, {0, 1, 0});
  printVec("ahead", fps * Vec4{eye.x + 2 * f.x, eye.y + 2 * f.y, eye.z + 2 * f.z, 1});
  return 0;
}

何時も通りg++ -std=c++20 main.cc -o mainでコンパイルして実行します：

view matrix:
  [ 0.800  0.000 -0.600 -0.000]
  [ 0.000  1.000  0.000 -0.000]
  [ 0.600 -0.000  0.800 -5.000]
  [ 0.000  0.000  0.000  1.000]
origin   ( 0.000,  0.000, -5.000,  1.000)
eye      ( 0.000,  0.000,  0.000,  1.000)
p        ( 5.000,  2.000, -5.000,  1.000)
camPos   ( 3.000,  0.000,  4.000,  1.000)
forward  (-0.750,  0.500, -0.433) length 1.000
ahead    ( 0.000,  0.000, -2.000,  1.000)

-0.000は気にしないで下さい。
浮動小数点数はゼロにも符号ビットがあるので、$-(2.4-2.4)$は「負のゼロ」になりますが、0と等しいと判定されます。
コンパイラーによっては其処が0.000と表示される事もあります。
最後の行は良い確認です。
カメラの前方向に2進んだ点が$(0,0,-2)$、つまり−Zの真正面に来ています。

次の章では、ビュー行列の前に投影行列を置き、次の様に1つのビュー投影行列に纏めます：

Mat4 viewProj = perspectiveGl(radians(60.0f), 16.0f / 9.0f, 0.1f, 100.0f) * view;

11.11 まとめ

• 空間とは、原点と軸の選び方の事です。頂点はM、V、P、wでの除算、ビューポート変換を通って、オブジェクト→ワールド→ビュー→クリップ→NDC→スクリーンと旅します。
• 座標系Aの軸（と原点）を座標系Bで書いて列に並べた行列は、AからBへ変換します。其の逆行列はBからAへ変換します。
• 正規直交基底なら逆行列は転置です。新しい座標は軸との内積に過ぎないからです。
• カメラは目の位置$𝐞$と、右・上・前の軸を持つ物体です。カメラは自分の−Z方向を向きます。
• ビュー行列はカメラのワールド行列の逆行列です。行は$𝐫$、$𝐮$、$-𝐟$、平行移動は$-𝐫\cdot 𝐞$、$-𝐮\cdot 𝐞$、$𝐟\cdot 𝐞$です。
• lookAtは前をターゲット引く目から、右をcross(f, up)から、本当の上をcross(r, f)から作ります。前が上と平行だと壊れます。
• ヨーとピッチからsinとcosで前ベクトルが作れます。ピッチは90°未満に制限します。
• 全ての頂点は$𝐏𝐕𝐌$で右から左へ変換されます。

11.12 課題

1. ★ 2Dの座標系の軸が${𝐛}_1=(0,1)$と${𝐛}_2=(-1,0)$です。此の座標系で$(3,2)$にある点の古い座標は？次に、古い点$(1,4)$を新しい座標系に変換して下さい。
2. ★ ${𝐛}_1=(0.6,0,0.8)$、${𝐛}_2=(0,1,0)$、${𝐛}_3=(-0.8,0,0.6)$が正規直交で右手系（${𝐛}_1\times {𝐛}_2={𝐛}_3$）である事を確かめ、此の基底での$(5,1,5)$の座標を求めて下さい。
3. ★ 目$(0,3,4)$、ターゲット$(0,0,0)$、上$(0,1,0)$のビュー行列を手で作って下さい。正規化する前の$𝐟\times 𝐮𝐩$の長さを書き出し、何故1にならないのか説明して下さい。
4. ★ ヨー90°、ピッチ−45°のforwardFromYawPitchを正確な値（$\sqrt{2}/2$を使う）で計算して下さい。カメラはどちらを向いていますか？
5. ★★ orbitEye(Vec3 target, float distance, float yaw, float pitch)を書いて下さい。ターゲット$(0,1,0)$、距離4、ヨー0、ピッチ−30°なら約$(0,3,3.464)$を返し、lookAt(eye, target, {0, 1, 0}) * Vec4{0, 1, 0, 1}は$(0,0,-4,1)$を表示する筈です。
6. ★★ ビュー行列の行から3つの軸を読み出すvoid cameraAxes(const Mat4 &view, Vec3 &right, Vec3 &up, Vec3 &forward)を書いて下さい。11.6節のカメラなら、右$(0.8,0,-0.6)$、上$(0,1,0)$、前$(-0.6,0,-0.8)$と表示される筈です。
7. ★★★ lookAtは常にワールドの上を使うので、カメラをロール（地平線を傾ける）出来ません。ロール角を追加して下さい。$𝐫$と$𝐮$を計算した後、第8章の2D回転で其の2つを其れらの平面の中で回します。代わりに上として$(0,-1,0)$を渡すとどうなりますか？其れは何故ですか？